Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x^2}$，a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)a≥1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在$x∈（0，\frac{2}{a^2}）$有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)f（x）的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求和函數(shù)的最值，然后判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（II）設(shè)g（x）=f′（x）=lnx+1-ax，求出$g'（x）=\frac{1}{x}-a$，
當(dāng)a＜0時(shí)，判斷f（x）的零點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，通過f′（x）的單調(diào)性，求出最值，推出極值點(diǎn)然后求解a的取值范圍．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x^2}$，a≠0定義域是（0，+∞），$f'（x）=lnx+1-ax=x（\frac{lnx+1}{x}-a）$，…（2分）
設(shè)$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，$g'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，當(dāng)x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）遞減．
∴g（x）在（0，+∞）上最大值是g（1）=1，∴$\frac{lnx+1}{x}≤1$，
∴$\frac{lnx+1}{x}-a≤0$，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減； …（6分）
（II）設(shè)g（x）=f'（x）=lnx+1-ax，$g'（x）=\frac{1}{x}-a$，
當(dāng)a＜0時(shí)，$g'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，f'（x）遞增，∴f'（x）不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，
從而f（x）也不可能有2個(gè)極值點(diǎn)； …（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）在$x∈（0，\frac{1}{a}）$遞增，在$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$遞減，f'（x）有最大值$f'（\frac{1}{a}）=-lna$，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，必須$f'（\frac{1}{a}）=-lna＞0$，∴0＜a＜1，…（10分）
∵$f'（\frac{1}{e}）=-\frac{a}{e}＜0$，∴f（x）在$（\frac{1}{e}，\frac{1}{a}）$有有一極小值點(diǎn)x₁，
由（I）有l(wèi)nx≤x-1，∴$ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}-1$，即$lna≥1-\frac{1}{a}$
因此$f'（\frac{2}{a^2}）=ln2-2lna+1-\frac{2}{a}≤ln2-2（1-\frac{1}{a}）+1-\frac{2}{a}=ln2-1＜0$
∴f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a2}$）有一極大值點(diǎn)x₂；
綜上所述，a的取值范圍是（0，1）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．