Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y-3=0平行，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-2，$\sqrt{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)得f（0）=0，再根據(jù)（1，f（1））處的切線與直線6x+y-3=0平行，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為切線斜率列出關(guān)于a，b，c的方程組求出解；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間，然后求出最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，
∴c=0，
∴f′（x）=3ax²+b，
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）的圖象在點(diǎn)x=1處的切線與直線6x+y+3=0平行，
∴f′（1）=3a+b=-6，
∵導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-12），
∴b=-12，
∴a=2，
∴函數(shù)f（x）=2x³-12x；
（2）∵f（x）=2x³-12x，
∴f′（x）=6x²-12=6（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$），列表如下：

x	（-∞，-$\sqrt{2}$）	-$\sqrt{2}$	（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞），
∵f（-2）=8，f（-$\sqrt{2}$）=8$\sqrt{2}$，f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（3）=18，
∴f（x）在[-2，$\sqrt{3}$]上的最大值是f（3）=18，最小值是-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力和運(yùn)算能力．屬于中檔題．