Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-1，0），O為坐標原點，點G（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$）在橢圓上，過點F的直線l交橢圓于不同的兩點 A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，P為x軸上一點，若PA、PB是菱形的兩條鄰邊，求點P橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的焦點坐標，點的坐標適合方程，求解a，b，即可求出橢圓的方程．
（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，當x₁=x₂時，M點的坐標為（-1，0）．當x₁≠x₂時，利用平方差法求解結果即可．
（3）設P（m，0），AB的中點M（a，b），通過|PA|=|PB|，PM⊥AB．推出b²=-a²-a+am+m，然后求解P點的橫坐標的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，0）．

解答 解：（1）由題意有a²-b²=1，且$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}}{b^2}$=1，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1．…（2分）
（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
當x₁=x₂時，M點的坐標為（-1，0）．
當x₁≠x₂時，
∵$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}$²=1，$\frac{{{x_2}^2}}{2}+{y_2}$²=1，
兩式相減得$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（x{\;}_1-{x_2}）}}{2}=-（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）$，
∴$\frac{2x}{2•2y}=-\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．
又AB過F點，于是AB的斜率為$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y-0}{x+1}$，
∴$\frac{x}{2y}$=-$\frac{y}{x+1}$，
整理得x²+2y²+x=0．
∵（-1，0）也滿足上式，
∴M的軌跡方程為x²+2y²+x=0．…（6分）
（3）設P（m，0），AB的中點M（a，b），
由（2）知，a²+2b²+a=0．①
∵|PA|=|PB|，
∴PM⊥AB．
∴k_AB•k_MP=-1，即$\frac{a+1}•\frac{a-m}$=-1，
整理得b²=-a²-a+am+m，②
將②代入①中，得a²+a-2am-2m=0，
化為 （a+1）（a-2m）=0，
∵a≠-1，
∴m=$\frac{a}{2}$．
由2b²=-a²-a＞0（當b=0時，AB與x軸垂直，不合題意，舍去），得-1＜a＜0，
于是-$\frac{1}{2}$＜m＜0，即P點的橫坐標的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，0）．…（10分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，橢圓方程的求法，在與橢圓的位置關系的應用，考查計算能力．