Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知⊙O的半徑為1，MN是⊙O的直徑，過M點作⊙O的切線AM，C是AM的中點，AN交⊙O于B點，若四邊形BCON是平行四邊形；
（Ⅰ）求AM的長；
（Ⅱ）求sin∠ANC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BM，則平行四邊形BCON中證出BC∥MN，由⊙O的切線AM⊥MN得到BC⊥AM，結合C是AM的中點得到△ABM中BM=BA．由MN是⊙O的直徑，得∠MBN=90°，因此得到△NAM是等腰直角三角形，故AM=MN=2．
（II）作CE⊥AN于E點，等腰Rt△CEA中算出CE=

2

2

，Rt△MNC中算出CN=

5

，從而可得Rt△ENC中，sin∠ANC=

10

10

．

解答：解：（Ⅰ）連接BM，則
∵MN是⊙O的直徑，∴∠MBN=90°，
∵四邊形BCON是平行四邊形，∴BC∥MN，
又∵AM是⊙O的切線，可得MN⊥AM，∴BC⊥AM，
∵C是AM的中點，∴BC是△ABM的中線，
由此可得△ABM是等腰三角形，即BM=BA，
∵∠MBN=90°，∴∠BMA=∠A=45°，
因此得到Rt△NAM是等腰直角三角形，故AM=MN=2．…（5分）
（Ⅱ）作CE⊥AN于E點，則
由（I），得△CEA是等腰直角三角形，且AC=1
∴CE=

2

2

AC=

2

2

，
∵Rt△MNC中，MN=2，MC=1，∴CN=

22+12

=

5

，
故Rt△ENC中，sin∠ANC=

CE

NC

=

10

10

．…（10分）

點評：本題給出圓O的垂直于直徑MN的一條切線AM，在已知△NAM是等腰直角三角形的情況下求線段的長，并求sin∠ANC的值．著重考查了圓的切線的性質、直徑所對的圓周角和直角三角形中三角函數的定義等知識，屬于中檔題．