Question

已知函數(shù)的圖象在點（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（Ⅰ）求實數(shù)的值；
（Ⅱ）若，且          對任意恒成立，求的最大值；
（Ⅲ）當時，證明．

Answer 1

（1）．（2）整數(shù)的最大值是3．（3）見解析

第一問中利用，，以及函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為3，所以，得a=1
第二問中利用對任意恒成立，即對任意恒成立．構造新函數(shù)，利用導數(shù)來判定單調(diào)性求解最值。第三問中，由（2）知，是上的增函數(shù)，
所以當時，
然后分析得證。
（1）解：因為，所以．…………………1分
因為函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為3，
所以，即．所以．……………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以對任意恒成立，即對任意恒成立．………………………3分
令，則，…………………………………4分
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．……………5分
因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，…6分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．…7分
所以．故整數(shù)的最大值是3．……8分
（3）證明1：由（2）知，是上的增函數(shù)，……………9分
所以當時，．………………10分
即．整理，得
．
因為，所以．
即．即．所以．
證明2：構造函數(shù)
，…………………………9分
則．……………………………10分
因為，所以．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 因為， 所以．
所以
．
即．
即．即．
所以．