Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²，x∈R
（1）若正數(shù)m，n滿足m•n＞1，證明：f（m），f（n）至少有一個不小于零；
（2）若a，b為不相等的正實數(shù)且滿足f（a）=f（b），求證a+b＜

4

3

．

Answer 1

考點：反證法

專題：證明題

分析：（1）假設(shè)f（m）＜0，f（n）＜0即m³-m²＜0，n³-n²＜0，得mn＜1這與m，n＞1矛盾，從而f（m），f（n）至少有一個不小于零．
（2）證明：由f（a）=f（b）得a³-a²=b³-b²，（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），從而（a+b）²-（a+b）=ab＜(

a+b

2

)2，進(jìn)而a+b＜

4

3

．

解答： 解：（1）證明：假設(shè)f（m）＜0，f（n）＜0
即m³-m²＜0，n³-n²＜0
∵m＞0，n＞0
∴m-1＜0    n-1＜0
∴0＜m＜1，0＜n＜1，
∴mn＜1這與m，n＞1矛盾
∴假設(shè)不成立，即f（m），f（n）至少有一個不小于零．
（2）證明：由f（a）=f（b）得a³-a²=b³-b²，
∴a³-b³=a²-b²
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b）
∵a≠b∴a²+ab+b²=a+b，
∴（a+b）²-（a+b）=ab＜(

a+b

2

)2
∴

3

4

(a+b)2-(a+b)＜0，
∴a+b＜

4

3

點評：本題考察了不等式的證明，考察了反證法的證明問題，是一道中檔題．