Question

已知單位圓上兩點P、Q關(guān)于直線y=x對稱，且射線OP為終邊的角的大小為x．另有兩點M（a，-a）、N（-a，a），且f（x）=

MP

•

NQ

．
（1）當(dāng)x=

π

12

時，求

PQ

的長及扇形OPQ的面積；
（2）當(dāng)點P在上半圓上運動時，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）若函數(shù)f（x）最大值為g（a），求g（a）．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,任意角的三角函數(shù)的定義,單位圓與周期性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x=

π

12

時，直接利用扇形的弧長公式求

PQ

的長利用扇形的面積公式求解扇形OPQ的面積；
（2）P（cosx，sinx），Q（sinx，cosx）．直接利用數(shù)量積求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）轉(zhuǎn)化函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用換元法，求解函數(shù)的最大值為g（a）．

解答： 解：（1）x=

π

12

時，

PQ

的長為

π

2

-

π

12

×2=

π

3

．…（1分）
扇形OPQ的面積 

1

2

×1×

π

3

=

π

6

．…（2分）
（2）P（cosx，sinx），Q（sinx，cosx）.

MP

=(cosx-a，sinx+a)，

NQ

=(sinx+a，cosx-a)，…（3分）
f(x)=

MP

•

NQ

=(cosx-a)(sinx+a)+(sinx+a)(cosx-a)=2（cosx-a）（sinx+a），其中x∈[0，π]．…（5分）
（3）f（x）=2（cosx-a）（sinx+a）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，
令t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，x∈[0，π]，t∈[-1，

2

]，
∴f（x）=-t²-2at-2a²+1
t∈[-1，

2

]，
①當(dāng)-

2

≤a≤1時，g（a）=1-a²；
②當(dāng)a＞1時，g（a）=2a-a²；
③當(dāng)a＜-

2

時，g（a）=-1-2

2

a-2a²；

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，換元法求解函數(shù)的最值的方法，考查計算能力．