Question

已知定點(diǎn)A(-1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x=。不在x軸上的動點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N，
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)P(x，y)，則，
化簡得。
(Ⅱ)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時，設(shè)BC的方程為y=k(x-2)(k≠0)，
與雙曲線方程聯(lián)立消去y得(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0，
由題意知，3-k²≠0且△＞0，
設(shè)B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則，

，
因?yàn)閤₁，x₂≠-1，所以直線AB的方程為，
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得，
因此
；
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時，其方程為x=2，則B(2，3)，C(2，-3)，
AB的方程為y=x+l，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
同理可得，
因此，
綜上，，即FM⊥FN，
故以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)F。