Question

【題目】函數(shù)，．

（Ⅰ）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若對(duì)于，總有.（i）求實(shí)數(shù)的范圍； （ii）求證：對(duì)于，不等式成立．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）先運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類(lèi)進(jìn)行探求； （Ⅱ）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推證：

（Ⅰ）解法一：由題意得， 令

（1）當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立

即對(duì)恒成立，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)；…………2分

（2）當(dāng)，即

①時(shí)，設(shè)方程兩個(gè)不同實(shí)根為，不妨設(shè)

則，故

∴時(shí)；在時(shí)

故是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).

②時(shí)，設(shè)方程兩個(gè)不同實(shí)根為，

則，故

∴時(shí)，；故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn). ……………………………4分

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn). ………………………………………5分

解法二：, …………………………………………1分

,

當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立，在單調(diào)增，沒(méi)有極值點(diǎn)； ……………………………………………………………3分

②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等正數(shù)解，

不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，增；時(shí)，減；時(shí)，增，所以分別為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn). ………………………………5分

（Ⅱ）（i），

由，即對(duì)于恒成立，設(shè)，

，

，時(shí)，減，時(shí)，增，

，． ……………………………………9分

（ii）由（i）知，當(dāng)時(shí)有，即：，……①當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), ……………………………10分

以下證明：，設(shè)，，

當(dāng)時(shí)減，時(shí)增，

，，……②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

由于①②等號(hào)不同時(shí)成立，故有.……………………………12分