Question

5．重慶一中開(kāi)展支教活動(dòng)，有五名教師被隨機(jī)的分到49中學(xué)、璧山中學(xué)、禮嘉中學(xué)，且每個(gè)中學(xué)至少一名教師，
（1）求共有多少種分派方法；（用數(shù)字作答）
（2）求璧山中學(xué)分到兩名教師的概率；
（3）設(shè)隨機(jī)變量X為這五名教師分到璧山中學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）利用分類(lèi)討論思想和排列組合知識(shí)能求出共有多少種分派方法．
（2）設(shè)璧山中學(xué)分到兩名教師為事件A，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出璧山中學(xué)分到兩名教師的概率．
（3）由題意知X的可有取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵有五名教師被隨機(jī)的分到49中學(xué)、璧山中學(xué)、禮嘉中學(xué)，且每個(gè)中學(xué)至少一名教師，
∴共有N=$\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}$=150種分派方法．
（2）設(shè)璧山中學(xué)分到兩名教師為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{3}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{5}$．
（3）由題意知X的可有取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}（{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{3}{A}_{2}^{2}）}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（X=2）=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{2}{A}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{15}$

∴E（X）=$1×\frac{7}{15}+2×\frac{2}{5}+3×\frac{2}{15}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．