Question

如圖所示，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=2，AC=1．
（1）證明PC⊥AB；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明PC⊥AB．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角A-PC-B的余弦值．

解答：解：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥PA
∵AB⊥AC且AC與PA是平面PAC的兩條相交直線，
∴PC⊥AB．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C （0，1，0），P（0，0，2）．
平面PAC的一個(gè)法向量

m

=（1，0，0）．

PC

=（0，1，-2），

CB

=（2，-1，0）．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PCD的一個(gè)法向量，
則

n • PC =0 n • CB =0

，
即

y-2z=0 2x-y=0

，不妨令z=1，則

n

=（1，2，1）．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m•n

|m|•|n|

=

1

6

=

6

6

．
∴二面角A-PC-B的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面垂直的位置關(guān)系的判斷，以及求空間二面角的大小，利用向量法是解決空間向量問題的基本方法．