Question

如下圖已知拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5．過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M．

(1)求拋物線方程；

(2)求M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m，0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝，于是，＝5，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x， 　　(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)． 　　又∵F(1，0)， 　　∴KFA＝，又MN⊥FA， 　　∴KMN＝， 　　則FA的方程為y＝(x－1)，MN的方程為y－2＝，解方程組得 　　∴N()． 　　(3)由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)(0，2)，半徑為2，當(dāng)m＝4時(shí)，直線AK的方程為x＝4，此時(shí)，直線AK與圓M相離， 　　當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y＝(x－m)， 　　即為4x－(4－m)y－4m＝0， 　　圓心M(0，2)到直線AK的距離d＝，令d＞2， 　　解得m＞1． 　　∴當(dāng)m＞1時(shí)，直線AK與圓M相離； 　　當(dāng)m＝1時(shí)，直線AK與圓M相切； 　　當(dāng)m＜1時(shí)，直線AK與圓M相交．