Question

【題目】如圖，五面體中，，平面平面，平面平面，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，證明出，可得出平面，證明出，可得出平面，利用面面平行的判定定理可得出平面平面，由此可得出平面；

（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）如圖，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、.

由題可知，.

設(shè)，易知，且.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面.

同理平面，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，故平面.

因?yàn)?/span>，，所以.

因?yàn)?/span>，由余弦定理得，

，所以，

所以是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，

而，則.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

因?yàn)?/span>，所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面；

（2）如圖，連接，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，所以，.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，

取，則，，即.

易知，設(shè)直線與平面所成的角為.

故，即直線與平面所成角的正弦值為.