Question

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)y=f（x）+1的零點(diǎn)；
（2）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，恒有f（x）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=f（x）+1=f（x）=x|x|-2+1，
當(dāng)x≥0?x²=1?x=1或x=-1（負(fù)舍），
當(dāng)x＜0?x²=-1不成立，
故y=f（x）+1的零點(diǎn)為  1
（2）f(x)=x|x-a|-2=

x2-ax-2=(x- a 2 )2-2- a2 4 ，x＞a -x2+ax-2=-(x= a 2 )2-2+ a2 4 ，x≤a.

當(dāng)a＞0，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間(-∞，

a

2

)和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間[

a

2

，a]
（3）（i）當(dāng)x=0時(shí)，顯然f（x）＜0成立；
（ii）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，由f（x）＜0，可得x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，
令g(x)=x-

2

x

(x∈(0，1])，h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])，則有[g（x）]_max＜a＜[h（x）]_min．由g（x）單調(diào)遞增，可知[g（x）]_miax=g（1）=-1．又h(x)=x+

2

x

=(

2 x

-

x

)2+2(x∈(0，1])是單調(diào)減函數(shù)，故[h（x）]_min=h（1）=3，故所求a的取值范圍是（-1，3）．