Question

曲線x²+y²+x-6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kx-y+4=0對(duì)稱且OP⊥OQ，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：因?yàn)榍�線方程為圓的方程，圓上的P與Q關(guān)于直線對(duì)稱得到直線過圓心，把圓心坐標(biāo)代入即可求出k，又因?yàn)镻Q⊥直線kx-y+4=0得到直線PQ的斜率為-

1

k

，然后聯(lián)立直線與圓的方程，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，再借助于韋達(dá)定理，即可寫出直線的方程．

解答：解：曲線x²+y²+x-6y+3=0可變?yōu)椋?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(x+

1

2

)2+（y-3）²=(

5

2

)2
得到圓心（-

1

2

，3），半徑為

5

2

；
因?yàn)閳A上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，得到圓心在直線上，
把（-

1

2

，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2，且PQ與直線垂直，
所以直線PQ的斜率=

-1

k

=-

1

2

，設(shè)PQ方程為y=-

1

2

x+b，
聯(lián)立得

x2+y2+x-6y+3=0 y=- 1 2 x+b

，
代入整理得

5

4

x²+（4-b）x+b²-6b+3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

5

4

x₁x₂-

b

2

（x₁+x₂）+b²=0，
∴b²-6b+3-

2

5

（b²-4b）+b²=0，
∴b=

3

2

或b=

5

4

，
所以直線PQ的方程為：y=-

1

2

x+

3

2

或y=-

1

2

x+

5

4

，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解圓的對(duì)稱軸為過直徑的直線，會(huì)根據(jù)兩直線垂直得到斜率乘積為-1，會(huì)根據(jù)條件寫出直線的一般式方程．