Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0）滿足下列3個條件：
①f（x）的圖象過坐標原點；
②對于任意x∈R都有f(-

1

2

+x)=f(-

1

2

-x)成立；
③方程f（x）=x有兩個相等的實數根，令g（x）=f（x）-|λx-1|（其中λ＞0），
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數g（x）的單調區(qū)間（直接寫出結果即可）；
（3）研究函數g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點個數．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,帶絕對值的函數,函數單調性的判斷與證明,二次函數的性質,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用f（0）=0求出c．通過函數的對稱軸，得到a=b，通過方程f（x）=x有兩個相等的實數根，即可求函數f（x）的表達式；
（2）化簡函數g（x）的表達式為分段函數，通過x≥

1

λ

時，結合函數g（x）=x²+（1-λ）x+1的對稱軸為求出單調求解，當x＜

1

λ

時類似求解函數單調區(qū)間．
（3）結合（2）的函數的單調性，即可研究函數g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點個數．

解答： 解：（1）由題意得f（0）=0，即c=0．…（1分）
∵對于任意x∈R都有f(-

1

2

+x)=f(-

1

2

-x)，
∴對稱軸為x=-

1

2

，即-

b

2a

=-

1

2

，即a=b．
∴f（x）=ax²+ax，
∵方程f（x）=x僅有一根，即方程ax²+（a-1）x=0僅有一根，
∴△=0，即（a-1）²=0，即a=1．
∴f（x）=x²+x． …（4分）
（2）g（x）=f（x）-|λx-1|=

x2+(1-λ)x+1， x≥ 1 λ x2+(1+λ)x-1， x＜ 1 λ

①當x≥

1

λ

時，函數g（x）=x²+（1-λ）x+1的對稱軸為x=

λ-1

2

，
若

λ-1

2

≤

1

λ

，即0＜λ≤2，函數g（x）在(

1

λ

，+∞)上單調遞增；
若

λ-1

2

＞

1

λ

，即λ＞2，函數g（x）在(

λ-1

2

，+∞)上單調遞增，在(

1

λ

，

λ-1

2

)上遞減．
②當x＜

1

λ

時，函數g（x）=x²+（1+λ）x-1的對稱軸為x=-

1+λ

2

＜

1

λ

，
則函數g（x）在(-

1+λ

2

，

1

λ

)上單調遞增，在(-∞，-

1+λ

2

)上單調遞減．
綜上所述，
當0＜λ≤2時，函數g（x）增區(qū)間為(-

1+λ

2

，+∞)，減區(qū)間為(-∞，-

1+λ

2

)；
當λ＞2時，函數g（x）增區(qū)間為(-

1+λ

2

，

1

λ

)、(

λ-1

2

，+∞)，減區(qū)間為(-∞，-

1+λ

2

)、(

1

λ

，

λ-1

2

)．                                       …（9分）
（3）①當0＜λ≤2時，由（2）知函數g（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=2-|λ-1|＞0，
故函數g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個零點． …（12分）
②當λ＞2時，則

1

λ

＜

1

2

＜1，而g（0）=-1＜0，g(

1

λ

)=

1

λ2

+

1

λ

＞0，g（1）=2-|λ-1|，
（ⅰ）若2＜λ≤3，由于

1

λ

＜

λ-1

2

≤1，
且g(

λ-1

2

)=(

λ-1

2

)2+(1-λ)•

λ-1

2

+1=-

(λ-1)2

4

+1≥0，
此時，函數g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；
（ⅱ）若λ＞3，由于

λ-1

2

＞1且g（1）=2-|λ-1|＜0，此時g（x）在區(qū)間（0，1）
上有兩個不同的零點．
綜上所述，
當0＜λ≤3時，函數g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；
當λ＞3時，函數g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個不同的零點． …（16分）

點評：本題考查函數的單調性的應用，分類討論思想的應用，考查函數的零點解析式的求法，二次函數的性質的應用，是中檔題．