Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax+2lnx（a∈R）有一個(gè)極值點(diǎn)為x=1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（2x），當(dāng)t∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，比較F（t）與F（1）的大小．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)為x=1，得f'（1）=0，求出a值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）整理F（x）=f（x）+f（2x）=$\frac{5{x}^{2}}{2}-9x+4lnx+2ln2$，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性比較F（t）與F（1）的大小．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+2}{{x}^{2}}$
∵函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)為x=1，
∴f'（1）=0
∴a=-3
∴f'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{{x}^{2}}$
∴當(dāng)x∈（0，1）和（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減
故函數(shù)的增區(qū)間為（0，1）和（2，+∞），減區(qū)間為（1，2）；
極大值為f（1）=-$\frac{5}{2}$，極小值為f（2）=-4+2ln2；
（2）F（x）=f（x）+f（2x）=$\frac{5{x}^{2}}{2}-9x+4lnx+2ln2$
F'（x）=$\frac{（x-1）（5x-4）}{{x}^{2}}$
可知函數(shù)在（0，$\frac{4}{5}$）遞增，在（$\frac{4}{5}$，1）遞減
∴當(dāng)t∈[$\frac{4}{5}$，1]時(shí)，F(xiàn)（t）＞F（1）
∵F（$\frac{3}{4}$）≈-5.1，F(xiàn)（1）≈-5.1
∴當(dāng)t∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$]時(shí)，F(xiàn)（t）≥F（1）
故當(dāng)t∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，必有F（t）≥F（1）．

點(diǎn)評(píng) 考察了極值點(diǎn)的定義和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值．