Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（Ⅲ），求證：．

Answer 1

（Ⅰ)當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減, 在,上單調(diào)遞增;
（Ⅱ）
（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)含有參數(shù)，故需要分情況討論.
（Ⅱ）思路一、一般地若任意使得，則;若任意使得，則.由得：恒成立，所以小于等于的最小值.
思路二、除外,是的一個(gè)極值點(diǎn)，故可首先考慮這個(gè)特殊值.由得: ，這樣只需考慮時(shí)在內(nèi)是否恒成立.這是本題的特點(diǎn)，需要仔細(xì)觀察、分析.若發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，則運(yùn)算大大簡化.所以這個(gè)題有較好的區(qū)分度.
（Ⅲ）涉及數(shù)列求和的不等式的證明，一般有兩種類型，一種是先求和，后放縮；一種先放縮，后求和.
本題顯然屬于后者.
解答題中的最后一問，往往要用前面的結(jié)論，本題也不例外.由（Ⅱ）取可得：，由此可將不等式左邊各項(xiàng)放縮.
但是如果第一項(xiàng)也用這個(gè)結(jié)論來放縮，則得不到右邊的式子.這時(shí)就考慮從第二項(xiàng)開始，或從第三項(xiàng)開始用這個(gè)結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減, 在,上單調(diào)遞增.
（Ⅱ）法一、由得：
令，則
令，則即
所以由得
所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.所以
從而
法二、由得:
又時(shí), 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
所以即:
所以若在內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知: 又時(shí), 即(時(shí)取等號(hào))
所以當(dāng)時(shí):
又,所以
．