Question

（2011•重慶三模）設(shè)函數(shù)f（x）=

2

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x3+x2+ax+b（x＞-1）．
（I）若函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若函數(shù)f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為開口向上的拋物線，因?yàn)楹瘮?shù)在（-1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（II）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，可以得到△＞0且f′（-1）＞0，進(jìn)而可解出a的范圍．

解答：解：（I）由f（x）=

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x3+x2+ax+b（x＞-1）．
得到f′（x）=2x²+2x+a，
因?yàn)楹瘮?shù)在（-1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
所以f′（x）=2x²+2x+a≤0在（-1，+∞）恒成立，由于拋物線開口向上，2x²+2x+a≤0不可能成立；
所以f′（x）=2x²+2x+a≥0在（-1，+∞）恒成立，
則a≥-2x²-2x⇒a≥

1

2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[

1

2

，+∞）．
（II）∵函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值
由題意f′（x）=2x²+2x+a=0在（-1，+∞）上有兩解，
∴

△=4-8a 2(-1) 2+2(-1)+a＞0

⇒0＜a＜

1

2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評：此題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件，是一道綜合題．