Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a＜b＜c），其圖象在點(diǎn)A（1，f（1）），B（m，f（m））處的切線的斜率分別為0，-a．
（1）求證：；
（2）若函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍；
（3）若當(dāng)x≥k時(shí)（k是與a，b，c無(wú)關(guān)的常數(shù)），恒有f′（x）+a＜0，試求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)圖象在A，B兩點(diǎn)處的切線的斜率，可以得到f'（1）=0，f'（m）=-a，然后利用a，b，c的大小關(guān)系，確定a，c的符號(hào)，通過(guò)消元得到am²+2bm-2b=0，利用二次方程的根的情況，可得，
（2）由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到|s-t|關(guān)于a，b的關(guān)系式，即可得|s-t|的取值范圍；（3）由f'（x）+a＜0得ax²+2bx-2b＜0，通過(guò)轉(zhuǎn)換主元，利用不等式恒成立的條件得到x的范圍，從而得到k的范圍．
解答：解：（1）f'（x）=ax²+2bx+c，由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
f'（1）=a+2b+c=0①f'（m）=am²+2bm+c=-a②
又a＜b＜c，可得3a＜a+2b+c＜3c，即3a＜0＜3c，故a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，代入a＜b＜c，再由a＜0，得③
將c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有實(shí)根．
故其判別式△=4b²+8ab≥0得，或④
由③，④得；
（2）由f'（x）=ax²+2bx+c的判別式△'=4b²-4ac＞0，
知方程f'（x）=ax²+2bx+c=0（*）有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為x₁，x₂，
又由f'（1）=a+2b+c=0知，x₁=1為方程（*）的一個(gè)實(shí)根，則有根與系數(shù)的關(guān)系得，
當(dāng)x＜x₂或x＞x₁時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x₂＜x＜x₁時(shí)，f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[x₂，x₁]，由題設(shè)知[x₂，x₁]=[s，t]，
因此，由（Ⅰ）知得|s-t|的取值范圍為[2，4）；
（3）由f'（x）+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，即ax²+2bx-2b＜0，
因?yàn)閍＜0，則，整理得，
設(shè)，可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，由題意對(duì)于恒成立，
故即
得或，
由題意，，
故，因此k的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．是個(gè)難題．是個(gè)難題．