Question

在平面直角坐標系xOy中，直線m的參數(shù)方程為

x=3+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

（t為參數(shù)）；在以O為極點、射線Ox為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ．若直線m與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：由直線m的參數(shù)方程

x=3+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

消去t參數(shù)可得：直線m的普通方程．由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ化為ρ²sin²θ=8ρcosθ，得到曲線C的普通方程為y²=8x．由題設直線m與曲線C交于A、B兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程化為y²-8y-48=0，利用|AB|=

(1+12)[(y1+y2)2-4y1y2]

即可得出．

解答： 解：由直線m的參數(shù)方程

x=3+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

消去t參數(shù)可得：直線m的普通方程為x-y=6．
由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ化為ρ²sin²θ=8ρcosθ，得到曲線C的普通方程為y²=8x．
由題設直線m與曲線C交于A、B兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程

y2=8x x-y=6

，化為y²-8y-48=0，
則y₁+y₂=8，y₁•y₂=-48．
于是|AB|=

(1+12)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2(82+4×48)

=16

2

．
故|AB|=16

2

．

點評：本題考查了參數(shù)方程極坐標化為普通方程、直線與拋物線相交弦長問題，考查了計算能力，屬于中檔題．