Question

13．（1）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c為三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．用分析法證明$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$．
（2）已知a是整數(shù)，a²是偶數(shù)，用反證法證明a也是偶數(shù)．

Answer 1

分析 （1）用分析法證明，結(jié)合余弦定理可得結(jié)論．
（2）假設(shè)命題的反面成立，由此推出出矛盾，可得假設(shè)不正確，命題得證．

解答 （1）證明：要證明$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$，只要證明$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$，（2分）
只要證明$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$，只要證明c（b+c）+a（a+b）=（a+b）•（b+c），
只要證明c²+a²=ac+b²，（5分）
∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴∠B=60°，（7分）
由余弦定理，有b²=c²+a²-2accos60°，即b²=c²+a²-ac，∴c²+a²=ac+b²．
故原命題成立，得證．（9分）
（2）證明：（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．（11分）
設(shè)a=2n+1（n∈Z），則a²=4n²+4n+1．（13分）
∵4（n²+n）是偶數(shù)，（15分）
∴4n²+4n+1是奇數(shù)，這與已知a²是偶數(shù)矛盾．（17分）
由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．（18分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差關(guān)系、余弦定理的應(yīng)用和解三角形問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，由假設(shè)證出矛盾，是證題的關(guān)鍵．