Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.

（1）求，；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若，求證數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

Answer 1

(1) (2) （3）見解析

【解析】

試題分析：

(1)把點(diǎn)帶入函數(shù)的解析式即可得到,利用數(shù)列前n項(xiàng)和的定義可得,則分別令帶入式子即可得到的值.

(2)由(1)可得,則利用前n項(xiàng)和與之間的關(guān)系,令時(shí), 然后驗(yàn)證首項(xiàng),即可得到的通項(xiàng)公式.

(3)把(2)得到的帶入,即可得到的通項(xiàng)公式,為求其前n項(xiàng)和,可以把進(jìn)行裂項(xiàng),進(jìn)而采用裂項(xiàng)求和的方法即可得到,再利用非負(fù)即可證明

試題解析：

（1）∵點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，

∴， （1分）

∴， （2分）

又，∴. （4分）

（2）由（1）知，，

當(dāng)時(shí)， （6分）

由（1）知，滿足上式， （7分）

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （8分）

（3）由（2）得 （11分）

（12分）

（13分）

. （14分）

考點(diǎn)：裂項(xiàng)求和 不等式 數(shù)列前n項(xiàng)和