Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓 及直線，當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí).
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求被橢圓截得的最長(zhǎng)的弦所在的直線的方程.

Answer 1

(1)；  (2) y=x

試題分析：（1）直線與橢圓有公共點(diǎn)，說(shuō)明它們的方程組成的方程組有解，因而它們的方程聯(lián)立消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程的判別式大于或等于零，從而得到m的取值范圍.
(2)在（1）的基礎(chǔ)上利用弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的方法求最值即可，事實(shí)上應(yīng)該是直線y=x+m過(guò)橢圓中心時(shí)弦長(zhǎng)最長(zhǎng).
點(diǎn)評(píng)：（1）直線與橢圓的位置關(guān)系可利用它們組成的方程組的公共解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，當(dāng)沒(méi)有公共解時(shí)，此時(shí)，直線與橢圓相離；當(dāng)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，直線與橢圓相交.
（2）當(dāng)相交涉及最值時(shí)一般要利用韋達(dá)定理及判別式建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，從函數(shù)的角度求最值.