Question

已知函數(shù)fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n為常數(shù)，n∈N^*），將函數(shù)f_n（x）的最大值記為a_n，由a_n構(gòu)成的數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，總存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范圍；
（Ⅲ）比較

1

en+1+e•n

+fn(en)與a_n的大小，并加以證明．

Answer 1

（Ⅰ）fn′(x)=

-ln(x+n)+n+1

(x+n)2

，（2分）
令f_n′（x）＞0，則x＜eⁿ⁺¹-n．
∴f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上遞增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上遞減．（4分）
∴當x=eⁿ⁺¹-n時，fn(x)max=fn(en+1-n)=

1

en+1

+

1

n(n+1)

（5分）
即an=

1

en+1

+

1

n(n+1)

，
則Sn=

en-1

en+2-en+1

+

n

n+1

．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴eⁿ⁺¹遞增，n（n+1）遞增，
∴an=

1

en+1

+

1

n(n+1)

遞減．
∴0＜an≤a1=

1

e2

+

1

2

，
即an∈(0，

1

e2

+

1

2

]（8分）
令g(x)=

x

ex-1

+a，則g′(x)=

1-x

ex-1

，
∴g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
當x→0時，

x

ex-1

→0；
當x→+∞時，

x

ex-1

＞0；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?(0，

1

e2

+

1

2

]，
∴

a≤0 1 e2 + 1 2 ≤1+a

∴

1

e2

-

1

2

≤a≤0（11分）
（Ⅲ）

1

en+1+e•n

+fn(en)-an
=

1

en+1+e•n

+

ln(en+n)-n

en+n

+

1

n(n+1)

-

1

en+1

-

1

n(n+1)

=

1

e(en+n)

+

1

en+n

ln

en+n

en

-

1

en+1

=

1

en+n

(

1

e

+ln

en+n

en

-

1

e

en+n

en

)（12分）
令t=

en+n

en

，
∵g(x)=

ex+x

ex

(x≥1)，g′(x)=

1-x

ex

≤0∴g(x)在[1，+∞）上遞減．
∴1＜g(x)≤1+

1

e

，
即t∈(1，1+

1

e

]（13分）
又r(t)=

1

e

+lnt-

1

e

t，r′(t)=

1

t

-

1

e

＞0∴r(t)＞r(1)=0（14分）
∴

1

en+n

(

1

e

+ln

en+n

en

-

1

e

en+n

en

)＞0
∴

1

en+1+e•n

+fn(en)＞an（15分）