Question

已知P是拋物線y²=2x上的點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0），試求點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值（其中m∈R）．

Answer 1

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則d=|PM|=

(x0-m)2+(y0-0)2

=

x02+y02-2mx0+m2

=

x02+(2-2m)x0+m2

(x0≥0)
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）則其對稱軸為x₀=m-1
（1）當(dāng)m-1＜0即m＜1時(shí)
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0時(shí)為增函數(shù)，
所以dmin=

t|x0=0

=|m|=m
（2）當(dāng)m-1≥0即m≥1時(shí)，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上遞減，在（m-1，+∞）上遞增，
所以：dmin=

t|xo=m-1

=

2m-1

綜上所述，當(dāng)m＜1，點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值為m；
          當(dāng)m≥1，點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值為

2m-1

．