Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+1（x≥1）}\end{array}\right.$，則關于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-1）=a的實根個數(shù)最多為（　�。�

• A． 5個
• B． 6個
• C． 7個
• D． 8個

Answer 1

分析 將x+$\frac{1}{x}$-1視為一個整體，利用換元的思想方法和已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+1（x≥1）}\end{array}\right.$，結合二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，及函數(shù)圖象的對折變換，分類討論，可得答案．

解答 解：令t=x+$\frac{1}{x}$-1，則t∈（-∞，-3]∪[1，+∞），
畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+1（x≥1）}\end{array}\right.$，x∈（-∞，-3]∪[1，+∞）時的圖象如下圖所示：
，
由圖可知：當a∈[$\frac{7}{8}$，1）時，關于x的方程f（x）=a的實根個數(shù)最多為3個，
故關于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-1）=a的實根個數(shù)最多為6個，
故選：B．

點評 本題重點考查了分段函數(shù)、函數(shù)的零點等知識，屬于中檔題．