Question

1．已知函數(shù) f（x）=ax-lnx，g（x）=e^ax+2x，其中 a∈R．
（Ⅰ）當(dāng) a=2 時，求函數(shù) f（x） 的極值；
（Ⅱ）若存在區(qū)間 D⊆（0，+∞），使得 f（x）與g（x）在區(qū)間D上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時，f′（x）=2-$\frac{1}{x}$，通過f′（x）的符號可判斷f（x）在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，從而可求得f（x）的極值；
（Ⅱ）可求得f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，g′（x）=ae^ax+2，對a分a＞0，a=0與a＜0討論，通過f′（x）的符號可判斷f（x）在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，可求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f′（x）=2-$\frac{1}{x}$，
故當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增；
所以，f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值f（$\frac{1}{2}$）=1+ln2，無極大值；   …（5分）
（Ⅱ）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，g′（x）=ae^ax+2，
當(dāng)a＞0時，g′（x）＞0，即g（x）在R上單調(diào)遞增，而f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
故必存在D⊆（0，+∞），使得f（x）與g（x）在D上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=0時，f′（x）=-$\frac{1}{x}$＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，而g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故不存在滿足條件的區(qū)間D；
當(dāng)a＜0時，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$＜0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，而g（x）在（-∞，$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$）上單調(diào)遞減，（$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$，+∞）上單調(diào)遞增，若存在存在D⊆（0，+∞），使得f（x）與g（x）在D上上單調(diào)性相同，
則有$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$＞0，解得a＜-2；
綜上，a＞0或a＜-2．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查分類討論思想與方程思想，屬于難題．