Question

已知△PAB的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線

x2

5

-

y2

4

=1的左、右焦點(diǎn)，且PA，PB所在直線斜率之積為k（k≠0），試探求頂點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),軌跡方程

專題：計(jì)算題,分類討論,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，由PA，PB所在直線的斜率之積等于k（k≠0），列式整理得到頂點(diǎn)P的軌跡的方程，然后分k的不同取值范圍判斷軌跡為何種曲線．

解答： 解：雙曲線

x2

5

-

y2

4

=1的c=

5+4

=3，
則A（-3，0），B（3，0）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由已知，得
直線PA的斜率k_PA=

y

x+3

，
直線PB的斜率k_PB=

y

x-3

，
由題意得k_PA•k_PB=k，所以

y

x+3

•

y

x-3

=k，
即

x2

9

-

y2

9k

=1（x≠±3），
當(dāng)k＜0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓（k≠-1），或者圓（k=-1），
并除去兩點(diǎn)（-3，0），（3，0）；
當(dāng)k＞0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，并除去兩點(diǎn)（-3，0），（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的方程和性質(zhì)，考查與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．