Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿(mǎn)足：f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，且f（x）＜2x的解集為(-1，

3

2

)
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-mx（m∈R），若g（x）在x∈[-1，2]上的最小值為-4，求m的值．

Answer 1

（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿(mǎn)足f（-

1

4

+x）=f（-

1

4

-x）
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-

1

4

對(duì)稱(chēng)，可得-

b

2a

=-

1

4

 即a=2b …①
又∵不等式f（x）＜2x，即ax²+（b-2）x+c＜0的解集為（-1，

3

2

）
∴方程ax²+（b-2）x+c=0的兩根分別為x₁=-1，x₂=

3

2

且a＞0．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得

-1+ 3 2 =- b-2 a -1× 3 2 = c a

…②
聯(lián)解①②得：a=2，b=1，c=-3
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2x²+x-3
（2）函數(shù)g（x）=2x²+（1-m）x-3圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=

m-1

4

①當(dāng)

m-1

4

＜-1時(shí)，即m＜-3時(shí)，g（x）_min=g（-1）=m-2
由m-2=-4  得m=-2＞-3不符合題意
②當(dāng)-1≤

m-1

4

≤2時(shí)，即-3≤m≤9時(shí)，g（x）_min=g（

m-1

2

）=-4，
解得：m=1

+

.

2

∈[-3，9]，符合題意
③當(dāng)

m-1

4

＞2時(shí)，即m＞9時(shí)，g（x）_min=g（2）=7-2m
由7-2m=-4 得m=

11

2

＜5．不符合題意
綜上所述，符合題意的實(shí)數(shù)m的值為1

+

.

2

．