Question

13．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，二面角M-BQ-C為60°，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求三棱錐M-BCQ的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ））由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意，再利用錐體體積公式求出．

解答 （I）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；----------------（6分）
（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0）
設(shè)$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$，0＜λ＜1，則M（-2λ，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}$（1-λ）），
平面CBQ的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），
設(shè)平面MBQ的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\\{\overrightarrow{QB}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\frac{3-3λ}{2λ}$，0，$\sqrt{3}$），
∵二面角M-BQ-C的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=|$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\frac{3-3λ}{2λ}）^{2}+3}}$|=$\frac{1}{2}$，
解得λ=$\frac{1}{3}$，∴MC=2PM，
∴三棱錐M-BCQ的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{2}{3}×\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求錐體體積，著重考查了平面與平面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)和體積公式等知識，屬于中檔題．