Question

（2011•廣東模擬）已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足a₂•a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)由b_n=

Sn

n+c

（c≠0）構(gòu)成的新數(shù)列為{b_n}，求證：當(dāng)且僅當(dāng)c=-

1

2

時(shí)，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）對(duì)于（2）中的等差數(shù)列{b_n}，設(shè)c_n=

8

(an+7)•bn

（n∈N^*），數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，現(xiàn)有數(shù)列{f（n）}，f（n）=T_n•（a_n+3-

8

bn

）•0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n₀∈N^*，使f（n）≤f（n₀）對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出n₀的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯(lián)立，計(jì)算可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先計(jì)算Sn，代入數(shù)列 {

Sn

n+c

}，可得其通項(xiàng)公式，運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)分析，可得答案．
（3）求出c_n的表達(dá)式，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，得到f（n）的關(guān)系式，通過(guò)作差法對(duì)n討論，求出n的取值，

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

⇒

a2•a3=45 a2+a3=14

⇒

a2=5 a3=9

⇒d=4⇒an=4n-3（3分）
（3分）
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由2b₂=b₁+b₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化簡(jiǎn)得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-

1

2

反之，令 c=-

1

2

，即得b_n=2n，顯然數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴當(dāng)且僅當(dāng) c=-

1

2

時(shí)，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．（9分）
（3）c_n=

8

(an+7)•bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

f（n）=Tn•（an+3-

8

bn

）•0.9ⁿ=

n

n+1

•(4n-

4

n

) •0.9n=4（n-1）•0.9ⁿ（11分）
∵f（n+1）-f（n）=4•0.9ⁿ[0.9n-（n-1）]=4•0.9ⁿ[1-0.1n]n∈N⁺
∴當(dāng)n＜10時(shí)，f（n+1）＞f（n），當(dāng)n=10時(shí)，f（n+1）=f（n），當(dāng)n＞10時(shí)，f（n+1）＜f（n），
f（n）_max=f（10）=f（11），（13分）
∴存在n₀=10或11，使f（n）≤f（n₀）對(duì)一切n∈N^*都成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，注意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析，可以減少運(yùn)算量，降低難度．考查數(shù)列的求和，解題的方法是解方程與不等式的思想，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想．