已知a，b，c∈R*，求證：a3+b3+c3≥3abc．

答案：
解析：

a3+b3+c3-3abc

=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]

=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]

∵a，b，c∈R*，∴　a+b+c＞0．

又(a-b)2+(b</i>-c)2+(c-a)2≥0，

∴　(a+b+c)[(a-b)2+(b-c]2+(c-a)2≥0

即a3+b3+c3-3abc≥0

∴　a3+b3+c3≥3abc．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

50、已知a，b，c∈R，證明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2 ≥ 
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+且滿足a+2b+3c=1，則
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值為
9
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　　）

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