Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2mx+1．
（1）若m=1，求f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在[-2，2]為單調(diào)函數(shù)，求m的值；
（3）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求f（x），并配方，根據(jù)解析式即可求出f（x）在[-1，3]上的最值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)在對(duì)稱軸的一邊具有單調(diào)性，從而求得m的取值范圍；
（3）f（-1），f（2）中必有一個(gè)為最大值，所以分別讓f（-1），f（2）等于4求出m，并驗(yàn)證是否成立即可．

解答： 解：（1）m=1時(shí)，f（x）=x²+2x+1=（x+1）²；
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=16，最小值是f（-1）=0；
（2）∵f（x）在[-2，2]為單調(diào)函數(shù)；
∴區(qū)間[-2，2]在f（x）對(duì)稱軸x=-m的一邊，即-m≤-2，或-m≥2；
∴m≥2，或m≤-2；
（3）f（-1），f（2）中必有一個(gè)最大值；
若f（-1）=2-2m=4，m=-1；
∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，符合f（-1）最大；
若f（2）=5+4m=4，m=-

1

4

；
∴f(x)=x2-

1

2

x+1=(x-

1

4

)2+

15

16

，符合f（2）最大；
∴m=-1，或-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查配方求二次函數(shù)最值的方法，二次．?dāng)?shù)單調(diào)性的特點(diǎn)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的情況