Question

已知：f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，恰有f（x）＜mx-7成立，求a，m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分a=2時(shí)，和a＜2時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)a＜2時(shí)，根據(jù)判別式小于0即可．
（2）分a=2時(shí)，和a≠2時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，分別求出a的范圍后，綜合討論結(jié)果，可得答案．
（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-4＜0，故當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x）＜0，
當(dāng)

a＜2 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

⇒-2＜a＜2，
綜上所述a的取值范圍（-2，2]．
（2）由（1）得a=2，成立，當(dāng)a≠2，對(duì)稱軸x=-1
∴

a-2＜0 f(1)＜0

或

a-2＞0 f(1)＜0 f(3)≤0

⇒a＜2或2＜a≤

34

15

∴綜上所述a的取值范圍（-∞，

34

15

]．
（3）∵f（x）＜mx-7，
∴f（x）-mx+7＜0，
即（a-2）x²+（2a-4-m）x+3＜0，
令g（x）=（a-2）x²+（2a-4-m）x+3＜0
∵x∈（1，3）時(shí)，恰有f（x）＜mx-7成立
∴

a＞2 g(1)=0 g(3)=0

⇒

a＞2 3a-m=3 5a-m=9

⇒

a=3 m=6

．
故a=3，m=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的最值，其中將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．