Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的一個公共點(diǎn)在y軸上，且在該點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值；
（2）若a=c=1，b=0，試比較f（x）與g（x）的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)和切線的斜率，得到方程，解得即可得到b，c；
（2）對x討論，①x=0時(shí)，易得f（x）=g（x），②x＜0時(shí)，f（x）＜g（x），③x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，即可判斷大�。�

解答： 解：（1）由已知f（0）=1，f'（x）=e^x，f'（0）=1，
g（0）=c，g'（x）=2ax+b，g'（0）=b，
依題意可得

f(0)=g(0) f′(0)•g′(0)=-1

，解得

b=-1 c=1

；
（2）a=c=1，b=0時(shí)，g（x）=x²+1，f（x）=e^x，
①x=0時(shí)，f（0）=1，g（0）=1，即f（x）=g（x）；
②x＜0時(shí)，f（x）＜1，g（x）＞1，即f（x）＜g（x）；
③x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，則h'（x）=e^x-2x．
設(shè)k（x）=h'（x）=e^x-2x，則k'（x）=e^x-2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，k'（x）＜0，k（x）在區(qū)間（-∞，ln2）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，k'（x）＞0，k（x）在區(qū)間（ln2，+∞）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=ln2時(shí)，k（x）取得極小值，且極小值為k（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0
即k（x）=h'（x）=e^x-2x＞0恒成立，故h（x）在R上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，因此，當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞g（x）．
綜上，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜g（x）；
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=g（x）；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．