Question

在邊長分別為6dm和4dm的長方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起如圖，做成一個無蓋的長方形鐵皮箱．切去的正方形邊長為多少時，鐵皮箱的容積最大．

Answer 1

設切去的小正方形邊長為x，其中x∈（0，2）；
則長方體鐵皮箱的底面長為（6-2x），寬為（4-2x），高為x；
鐵皮箱的容積為V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；
求導，得V′（x）=12x²-40x+24，令V′（x）=0，解得x=

5- 7

3

，或x=

5+ 7

3

（舍去）；
當x∈（0，

5- 7

3

）時，V′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當x∈（

5- 7

3

，2）時，V′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以，函數(shù)V（x）在x=

5- 7

3

時取得最大值；即切去的正方形邊長為

5- 7

3

dm時，鐵皮箱的容積最大．