Question

在邊長分別為6dm和4dm的長方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起如圖，做成一個(gè)無蓋的長方形鐵皮箱．切去的正方形邊長為多少時(shí)，鐵皮箱的容積最大．

Answer 1

【答案】分析：如果設(shè)切去的小正方形邊長為x，x∈（0，2）；那么長方體鐵皮箱的底面長為（6-2x），寬為（4-2x），高為x；
容積為V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；對V（x）求導(dǎo)，令V′（x）=0，解得x的值，從而得函數(shù)V（x）的最大值．
解答：解：設(shè)切去的小正方形邊長為x，其中x∈（0，2）；
則長方體鐵皮箱的底面長為（6-2x），寬為（4-2x），高為x；
鐵皮箱的容積為V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；
求導(dǎo)，得V′（x）=12x²-40x+24，令V′（x）=0，解得x=，或x=（舍去）；
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，V′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（，2）時(shí)，V′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以，函數(shù)V（x）在x=時(shí)取得最大值；即切去的正方形邊長為dm時(shí)，鐵皮箱的容積最大．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在三次函數(shù)求最值問題時(shí)的實(shí)際應(yīng)用，最大、最小值點(diǎn)通常存在于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)處．