Question

已知函數(shù)，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如圖，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右分別為M、N，圖象的最高點(diǎn)為P，求與的夾角的余弦．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）解法一：通過函數(shù)為0，求出M，N的坐標(biāo)，確定P的位置，求出與，求出與的夾角的余弦．
      解法二：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出與的夾角的余弦．
      解法三：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通過二倍角公式求出與的夾角的余弦．
解答：解：（Ⅰ）∵
=（2分）
∵x∈R∴，
∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令得，
∵x∈[-1，1]∴或∴，（6分）
由，且x∈[-1，1]得∴，（8分）
∴，（10分）
∴=．（12分）
解法2：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，
由三角函數(shù)的性質(zhì)知，（6分），（8分）
由余弦定理得（10分）
=．（12分）
解法3：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，
由三角函數(shù)的性質(zhì)知，（6分）（8分）
在Rt△PAM中，（10分）
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos²∠MPA-1=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，向量的夾角的求法，可以通過向量的數(shù)量積解決，也可以通過三角形解決，考查計(jì)算能力，�？碱}型．