Question

7．已知函數(shù)f（x）=a-be^-x（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）的圖象在x=0處的切線方程為y=x．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 若g（x）=mlnx-e^-x+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x+1（m＞0），求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 若正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，${a}_{n}{e}^{-{a}_{n+1}}$=f（a_n）=f（a_n）證明：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a-b=0，b=1，從而求出a，b的值；
（Ⅱ）先求出h（x）的表達(dá)式，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅲ）要證數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，只需設(shè)出u（x）=e^x-x-1，x∈（0，+∞），通過求導(dǎo)得到u（x）＞u（0）=0，即e^x＞x+1，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f（0）=0，f′（0）=1，則a-b=0，b=1，
解得：a=1，b=1，
（Ⅱ）由題意得h（x）=mlnx+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x，x∈（0，+∞）．
h′（x）=$\frac{m}{x}$+x-（m+1）=$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
（1）當(dāng)0＜m＜1時，令h′（x）＞0，并注意到函數(shù)的定義域（0，+∞），
得0＜x＜m或x＞1，則h（x）的增區(qū)間是（0，m），（1，+∞），
同理可求h（x）的減區(qū)間是（m.1）；
（2）當(dāng)m=1時，h′（x）≥0，則h（x）是定義域（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)；
（3）當(dāng)m＞1時，令h′（x）＞0，并注意到函數(shù)的定義域（0，+∞），
得0＜x＜1或x＞m，
則h（x）的增區(qū)間是（0，1），（m，+∞），
同理可求h（x）的減區(qū)間是（1，m）；
（Ⅲ）證明：因為正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n${e}^{{-a}_{n+1}}$=f（a_n），
所以ln（a_n${e}^{{-a}_{n+1}}$）=ln（1-${e}^{{-a}_{n}}$），即a_n+1=-ln$\frac{1{-e}^{{-a}_{n}}}{{a}_{n}}$，
要證數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列：
?a_n+1＜a_n?-ln$\frac{1{-e}^{{-a}_{n}}}{{a}_{n}}$＜a_n?$\frac{1{-e}^{{-a}_{n}}}{{a}_{n}}$＞${e}^{{-a}_{n}}$?${e}^{{a}_{n}}$＞a_n+1，
設(shè)u（x）=e^x-x-1，x∈（0，+∞），
∵u′（x）=e^x-1＞0，
∴u（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，則u（x）＞u（0）=0，
即e^x＞x+1，故：${e}^{{a}_{n}}$＞a_n+1，
則數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察轉(zhuǎn)化思想，不等式的證明問題，本題是一道難題．