Question

直線l：y=k（x+2

2

）與圓O：x²+y²=4相交于點(diǎn)A、B，△OAB的面積為S，求S的最大值，及取最大值時(shí)k的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：原點(diǎn)O到l的距離為d=

2 2 |k|

1+k2

，弦長(zhǎng)|AB|=2

4- 8k2 1+k2

，ABO面積S（k）=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

，（-1＜k＜1且k≠0）．令

1

1+k2

=t，S（k）=4

2

-2(t- 3 4 )2+ 1 8

，由此求出k=±

3

3

時(shí)，S_max=2．

解答： 解：直線l方程kx-y+2

2

k=0（k≠0），
原點(diǎn)O到l的距離為d=

2 2 |k|

1+k2

，
弦長(zhǎng)|AB|=2

|OA|2-|OC|2

=2

4- 8k2 1+k2

，
ABO面積S=

1

2

|AB||OC|=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

，
∵|AB|＞0，∴-1＜k＜1（k≠0），•
∴S（k）=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

，（-1＜k＜1且k≠0）．
令

1

1+k2

=t，

1

2

＜t＜1，
∴S（k）=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

=4

2

-2t2+3t-1

=4

2

-2(t- 3 4 )2+ 1 8

，
∴當(dāng)t=

3

4

時(shí)，

1

1+k2

=

3

4

，
解得k²=

1

3

，
∴k=±

3

3

時(shí)，S_max=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的最大值及取最大值時(shí)直線斜率的取值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意換元法的合理運(yùn)用．