Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，它與直線x+y+1=0交于P、Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，求橢圓方程．（O為原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率的范圍求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而表示出b和a的關(guān)系，代入橢圓方程，根據(jù)OP⊥OQ判斷出x₁x₂=-y₁y₂，直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)表示出x₁x₂和y₁y₂，根據(jù)x₁x₂=-y₁y₂求得b的值．進(jìn)而橢圓的方程可得．
解答：解：設(shè)橢圓方程為，
由得
∴橢圓方程為，即x²+4y²=4b²設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由OP⊥OQ⇒x₁x₂=-y₁y₂由△＞0⇒b²＞，x₁x₂=
y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=
∴
b²=
∴橢圓方程為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及平面向量的幾何由意義．考查了基本知識(shí)的識(shí)記和基本的運(yùn)算能力．