Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，點E在側(cè)棱AA₁上，點F在側(cè)棱BB₁上，且AE=2，BF=．
（I） 求證：CF⊥C₁E；
（II） 求二面角E-CF-C₁的大小．

Answer 1

解：（I）由已知可得CC₁=，CE=C₁F=，
EF²=AB²+（AE-BF）²，EF=C₁E=，
于是有EF²+C₁E²=C₁F²，CE²+C₁E²=C₁C²，
所以EF⊥C₁E，C₁E⊥CE．又EF∩CE=E，
所以C₁E⊥平面CEF
由CF?平面CEF，故CF⊥C₁E；
（II）在△CEF中，由（I）可得EF=CF=，CE=，
于是有EF²+CF²=CE²，所以CF⊥EF，
又由（I）知CF⊥C₁E，且EF∩C₁E=E，所以CF⊥平面C₁EF
又C₁F?平面C₁EF，故CF⊥C₁F
于是∠EFC₁即為二面角E-CF-C₁的平面角
由（I）知△C₁EF是等腰直角三角形，所以∠EFC₁=45°，即所求二面角E-CF-C₁的大小為45°
分析：（I）欲證C₁E⊥平面CEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證C₁E與平面CEF內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)勾股定理可知EF⊥C₁E，C₁E⊥CE，又EF∩CE=E，滿足線面垂直的判定定理，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CF⊥C₁E；
（II）根據(jù)勾股定理可知CF⊥EF，根據(jù)線面垂直的判定定理可知CF⊥平面C₁EF，而C₁F?平面C₁EF，則CF⊥C₁F，從而∠EFC₁即為二面角E-CF-C₁的平面角，在△C₁EF是等腰直角三角形，求出此角即可．
點評：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角的求法，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力．