Question

（本小題滿分12分）拋物線的焦點(diǎn)為F，在拋物線上，且存在實(shí)數(shù)，使，
（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ）求△AOB的外接圓的方程。

Answer 1

（Ⅰ）；（2）．

試題分析：（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù) 向量關(guān)系式
可得到A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，再由拋物線的定義可表示出| AB|，再設(shè)直線AB方程后與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的方程，進(jìn)而可得到兩根之和與兩根之積，代入到| AB|的表達(dá)式中可求出最后k的值，進(jìn)而得到直線AB的方程．
（2）由（1）中求得的直線方程與拋物線聯(lián)立可求出A，B的坐標(biāo)，然后設(shè)圓的一般式方程，用待定系數(shù)法求出D，E，F(xiàn)的值，得到答案．
解：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線方程為．
∵，∴A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線．由拋物線的定義，得||=…1分
設(shè)直線AB：，而
由得．
∴||== ．∴．
從而，故直線AB的方程為，即
（2）由 求得A（4，4），B（，－1）
設(shè)△AOB的外接圓方程為，則
解得
故△AOB的外接圓的方程為．
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能根據(jù)向量的工具性得到D,F,E三點(diǎn)共線，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到參數(shù)的值。