Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，正方體內衣球O₁與面ABCD，BCC₁B₁，ABB₁A₁均相切，正方體內另一球O₂與面ADD₁A₁，A₁B₁C₁D₁，CDD₁C₁均相切，且兩球外切，那么兩球表面積之和的最小值是

（6-3

3

）π

．

Answer 1

分析：設球O₁、O₂的半徑分別為r₁、r₂，可得BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=（1+

3

）（r₁+r₂）=

3

，從而得到r₁+r₂=

3- 3

2

．再根據基本不等式，得r₁²+r₂²≥

1

2

（r₁+r₂）²=

6-3 3

4

，當且僅當r₁=r₂=

3- 3

4

時等號成立，由此結合球的表面積公式，即可得到兩球表面積之和的最小值．

解答：解：根據題意，得
BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=

3

AA₁=

3

，
設球O₁、O₂的半徑分別為r₁、r₂，根據正方體的性質和球與平面、球與球相切的性質，得BO₁=

3

r₁，O₁O₂=r₁+r₂，O₂D₁=

3

r₂，
∴（

3

+1）（r₁+r₂）=

3

，得r₁+r₂=

3

3 +1

=

3- 3

2

由基本不等式，得2（r₁²+r₂²）≥（r₁+r₂）²=3-

3 3

2

，
∴r₁²+r₂²≥

6-3 3

4

，當且僅當r₁=r₂=

3- 3

4

時等號成立
因此，兩球表面積之和S₁+S₂=4π（r₁²+r₂²）≥（6-3

3

）π
故答案為：（6-3

3

）π

點評：本題給出正方體內兩個相切的球分別與正方體的三個面相切，求兩個球的表面積之和的最小值，著重考查了正方體的性質和球與平面、球與球相切的性質，基本不等式及球的表面積公式等知識，屬于中檔題．