Question

已知函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x-1）為偶函數(shù)，且f（0）=2，則f（4）=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)得到f（x+1）=-f（-x+1）⇒f（-2）=-f（4）；再結(jié)合函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)得到f（x-1）=f（-x-1），進(jìn)而根據(jù)f（0）=f（-2）=-f（4）即可得到答案．
解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）為奇函數(shù)
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）①
∵函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)
∴f（x-1）=f（-x-1）②
在②中令x=1得：f（0）=f（-2）
在①中令x=-3得：f（-2）=-f（4）
∴f（0）=f（-2）=-f（4）=2．
∴f（4）=-2
故答案為：-2．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)得到f（x+1）=-f（-x+1）⇒f（-2）=-f（4）；再結(jié)合函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)得到f（x-1）=f（-x-1）⇒f（0）=f（-2）．