Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+2
（Ⅰ）如果x=-

1

3

及x=1是函數(shù)f（x）的兩個極值點，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（I）的條件下，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，3x²+2ax-1=0的兩根分別為-

1

3

，1，求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求得點P（-1，1）處的切線斜率k=f'（-1），利用點斜式，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+2恒成立，分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（I）f'（x）=3x²+2ax-1，3x²+2ax-1=0的兩根分別為-

1

3

，1  …（2分）
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0，得a=-1
∴f（x）=x³-x²-x+2…（4分）
（II） 由（I）知：f'（x）=3x²-2x-1，∴f'（-1）=4，
點P（-1，1）處的切線斜率k=f'（-1）=4，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程為：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0…（8分）
（III）由題意知，2xlnx≤f'（x）+2在x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

對x∈（0，+∞）上恒成立     …（10分）
設(shè)h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h'（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）       …（12分）
當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）＞0，當(dāng)x＞1時，h'（x）＜0
∴當(dāng)x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2
∴a的取值范圍是[-2，+∞）…（14分）

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．