Question

已知函數(shù)f（x）=2x+

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：當(dāng)a=1時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[

2

2

，1]上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函數(shù)的最值以及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的解析式，利用定義法，可證明出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[

2

2

，1]上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時，利用導(dǎo)數(shù)法，可以得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而分析1與極值點(diǎn)的關(guān)系，可得答案．

解答：證明：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=2x+

1

x

．
取x₁，x₂∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂，則
x₁-x₂＜0，

1

2

＜x₁•x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

2x1•x2-1

x1•x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[

2

2

，1]上單調(diào)遞增
解：（2）當(dāng)a＞0時，∵f（x）=2x+

a

x

∴f′（x）=2-

a

x2

令f′（x）=0，則x=

2 a

2

∵x∈（0，

2 a

2

]時，f′（x）≤0；x∈[

2 a

2

，+∞）時，f′（x）≥0；
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，

2 a

2

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

2 a

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)沒有最大值．
當(dāng)

2 a

2

≥1時，a≥2，f（x）_min=f（1）=2+a
當(dāng)

2 a

2

＜1時，0＜a＜2，f（x）_min=f（

2 a

2

）=2

2

a

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性判斷與證明，定義法和導(dǎo)數(shù)法是最常見的判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，一定要熟練掌握．