Question

13．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，
且AB⊥AC，AB=AC=PA=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線AE與PC所成的角；
（2）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系，利用向量法即可求異面直線AE與PC所成的角；
（2）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

解答 解：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz，
則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
∵E是BC的中點，∴E（1，1，0），
則$\overrightarrow{AE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），
cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PC}$＞=60°，
故異面直線AE與PC所成的角是60°．
（2）在平面ABCD中，
∵AB=AC=2，AB⊥AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=45°，
由Rt△ACD，得AD=CD=$\sqrt{2}$，
∴D（-1，1，0），
∵C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x-y=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令x=-1，則y=1，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面PAC，
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0）是平面PAC的一個法向量，
則cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查空間異面直線所成角的求解以及二面角的求解，建立空間坐標系，利用向量法是解決空間角的常用方法．考查學生的運算能力．