Question

13．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其左焦點與拋物線C：y²=-4x的焦點相同．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若過此橢圓的右焦點F的直線l與曲線C只有一個交點P，則
①求直線l的方程；
②橢圓上是否存在點M（x，y），使得S_△MPF=$\frac{1}{2}$，若存在，請說明一共有幾個點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點，可得c=1，由離心率公式可得a，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到橢圓方程；
（2）①討論直線l的斜率不存在和存在，代入拋物線方程，即可求得斜率k，進而得到直線l的方程；
②由①求出三個交點P的坐標(biāo)，分別討論它們，由直線和橢圓方程聯(lián)立，求交點，即可得到所求點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線C的焦點為E（-1，0），
所以c=1．
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2，
所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，
因此，所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（*）；
（2）①橢圓的右焦點為F（1，0），過點F與y軸平行的直線
顯然與曲線C沒有交點．設(shè)直線l的斜率為k．
當(dāng)k=0時，則直線y=0，過點F（1，0）且與曲線C只有一個交點（0，0），此時直線l的方程為y=0；                                                     
當(dāng)k≠0時，因直線l過點F（1，0），故可設(shè)其方程為y=k（x-1），
將其代入y²=-4x消去y，得k²x²-2（k²-2）x+k²=0．
因為直線l與曲線C只有一個交點P，所以判別式4（k²-2）²-4k²•k²=0，
于是k=±1，即直線l的方程為y=x-1或y=-x+1．
因此，所求的直線l的方程為y=0或y=x-1或y=-x+1．
②由①可求出點P的坐標(biāo)是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．
當(dāng)點P的坐標(biāo)為（0，0）時，則PF=1．于是${S_{△MPF}}=\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×1×|y|$，
從而y=±1，代入（*）式聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=-1\end{array}\right.$，求得$x=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
此時滿足條件的點M有4個$（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;1}），\;（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;1}），\;（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;-1}），\;（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;-1}）$．
當(dāng)點P的坐標(biāo)為（-1，2），則$PF=2\sqrt{2}$，點M（x，y）到直線l：y=-x+1的距離是$\frac{{|{x+y-1}|}}{{\sqrt{2}}}$，
于是有$\frac{1}{2}={S_{△MPF}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{|{x+y-1}|}}{{\sqrt{2}}}=|{x+y-1}|$，
從而$x+y-1=±\frac{1}{2}$，與（*）式聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y-1=\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y-1=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$
解之，可求出滿足條件的點M有4個$（{\frac{{6+\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{9-2\sqrt{57}}}{14}}）$，$（{\frac{{6-\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{9+2\sqrt{57}}}{14}}）$，
$（{\frac{11}{7}，-\;\frac{15}{14}}）$，$（{-1，\;\frac{3}{2}}）$．
當(dāng)點P的坐標(biāo)為（-1，-2），則$PF=2\sqrt{2}$，
點M（x，y）到直線ly=x-1的距離是$\frac{{|{x-y-1}|}}{{\sqrt{2}}}$，
于是有$\frac{1}{2}={S_{△MPF}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{|{x-y-1}|}}{{\sqrt{2}}}=|{x-y-1}|$，
從而$x-y-1=±\frac{1}{2}$，與（*）式聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x-y-1=\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x-y-1=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解之，可求出滿足條件的點M有4個$（{\frac{{6+\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{-9+2\sqrt{57}}}{14}}）$，$（{\frac{{6-\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{-9-2\sqrt{57}}}{14}}）$，
$（{\frac{11}{7}，\;\frac{15}{14}}）$，$（{-1，\;-\frac{3}{2}}）$．
綜合①②③，以上12個點各不相同且均在該橢圓上，因此，滿足條件的點M共有12個．
圖上橢圓上的12個點即為所求．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用：聯(lián)立直線方程求交點，同時考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題和易錯題．